Die Definition der Rechenoperationen + oder * ist nicht so simpel wie es die Gewohnheiten aus den Grundschulklassen vermuten lassen - man kann die Elemente von Zahlenmengen oder anderer Mengen mit einer Vielzahl von Operationen verknüpfen - meistens kann die Definition der Operationen per Verknüpfungstabelle vorgenommen werden - oftmals aber auch durch Beschreibungen - z.B.:
- die Addition zweier Natürlicher Zahlen ergibt sich als Mächtigkeit der Schnittmenge von zwei elementfremden Mengen, wobei die Mächtigkeiten der beiden genannten Mengen dann als Summe die Mächtigkeit der Schnittmenge ergeben. Es handelt sich dann um eine zweistellige Verknüpfung der Form: Addition: IN X IN → IN, a + b = c.
- die Addition zweier Kugeln aus knetbarer Masse erfolgt per Mischung und Formung einer neuen Kugel.
Definition von Gruppe oder Halbgruppe per Verknüpfungstabelle[]
In der nachfolgenden Verknüpfungstabelle soll das "+"-Zeichen durch eine Raute "#" ersetzt werden. Man könnte jetzt sagen, dass dies beliebig wäre und irgendwelche "Verknüpfungstabellen" aufgestellt werden können - und dabei allerdings nur Unsinn heraus kommt. Allerdings wäre zu fragen, ob bei dieser Verknüpfung "#" eventuell dieselben Gesetze gelten, wie bei der "uns" geläufigen Verknüpfung "+".
| # | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
5 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 4 | 5 | 3 |
| 2 | 2 | 0 | 1 | 5 | 3 | 4 |
| 3 | 3 | 5 | 4 | 0 | 2 | 1 |
| 4 | 4 | 3 | 5 | 1 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Auf jeden Fall ist Abgeschlossenheit vorhanden, da das Resultat solcher Operation wiederum aus derselben Zahlenmenge ist, wie die anderen Zahlen, d.h. man erhält als Lösung immer ein Element der Grundmenge.
Die Überprüfung des Assoziativgesetzes zeigt, dass eine Verschiebung der Klammer keine Auswirkung auf das Resultat hat::
Beispiel Assoziativgesetzl:
2 # (3 # 4) = 2 # 2 = 1
(2 # 3) # 4 = 5 # 4 = 1
Die Überprüfung auf die Eigenschaft "Neutrales Element" zeigt, dass die "0" Neutrales Element ist:
Beispiel Neutrales Element:
4 # 0 = 4, d.h. "0" ist Neutrales Element.
Die Überprüfung auf die Eigenschaft "Inverses Element" zeigt, dass die Verknüpfung mit der negativen Zahl - dann die "0" ergibt - somit ist bei der Zahl "a" dann die negative Zahl "-a" das inverse Element, d.h. a # (-a) = 0
Beispiel Inverses Element:
0 # (- 0) = 0
3 # (- 3) = 0
usw
Gruppe oder Halbgruppe der Drehungen und Spiegelungen[]
Abbildung der Drehungen und Spiegelungen
| # | D0 | D1 | D2 | Sa | Sb | Sc |
| D0 | D0 | D1 | D2 | Sa | Sb | Sc |
| D1 | D1 | D2 | D0 | Sb | Sc | Sa |
| D2 | D2 | D0 | D1 | Sc | Sa | Sb |
| Sa | Sa | Sc | Sb | D0 | D2 | D1 |
| Sb | Sb | Sa | Sc | D1 | D0 | D2 |
| Sc | Sc | Sb | Sa | D2 | D1 | D0 |
G={D0, D1, D2, Sa, Sb, Sc}
Abgeschlossenheit:
Alle Verknüpfungsergebnisse liegen in der Menge der Gruppe G
Assoziativgesetz:
D0 # (Sa # D2) = D0 # Sb = Sb
(D0 # Sa) # D2 = Sa # D2 = Sb
Neutrales Element:
D2 # D0 = D2
Inverses Element:
D1 # -D1 = D0
Somit wird vorerst - bis Einspruch - davon ausgegangen, dass es sich um eine Gruppe handelt.
Gruppe der Ganzen Zahlen[]
| + | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 |
3 |
| - 3 | - 6 | - 5 | - 4 | - 3 | - 2 | - 1 | 0 |
| - 2 | - 5 | - 4 | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 |
| - 1 | - 4 | - 3 | - 2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| 0 | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Z={..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Abgeschlossenheit:
Alle Verknüpfungsergebnisse liegen in der Menge der Gruppe Z
Assoziativgesetz:
3 + ((-2) + 1) = 3 + (-1) = 2
(3 + (-2)) + 1 = 1 + 1 = 2
Neutrales Element:
- 3 + 0 = - 3
Inverses Element:
2 + (-2) = 0
Drehungen, Spiegelungen und Klappungen eines Quadrates[]
Nachfolgend soll die mathematische Struktur einer weiteren Verknüpfung auf einer Grundmenge G untersucht werden. Beispiel: Die Verknüpfung K2 # D3 wird gelesen: K2 nach D3 - dies bedeutet, dass das Quadrat zuerst um drei Ecken gedreht und danach um die waagerechte Achse geklappt wird. Das Ergebnis ist: K2 # D3 = S1, d.h. es ergibt sich die Spiegelung an der Diagonalen von links unten nach rechts oben. Der Grundzustand ist immer D0 - auf ihn beziehen sich alle Operationen.
| # | D0 | D1 | D2 | D3 | S1 | S2 | K1 | K2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| D0 | D0 | D1 | D2 | D3 | S1 | S2 | K1 | K2 |
| D1 | D1 | D2 | D3 | D0 | K1 | K2 | S2 | S1 |
| D2 | D2 | D3 | D0 | D1 | S2 | S1 | K2 | K1 |
| D3 | D3 | D0 | D1 | D2 | K2 | K1 | S1 | S2 |
| S1 | S1 | K2 | S2 | K1 | D0 | D2 | D3 | D1 |
| S2 | S2 | K1 | S1 | K2 | D2 | D0 | D1 | D3 |
| K1 | K1 | S1 | K2 | S2 | D1 | D3 | D0 | D2 |
| K2 | K2 | S2 | K1 | S1 | D2 | D1 | D2 | D0 |
G={D0, D1, D2, D3, S1, S2, K1, K2}
Abgeschlossenheit:
Alle Verknüpfungsergebnisse liegen in der Menge der Gruppe G
Assoziativgesetz:
S2 # (K1 # D3) = S2 # S2 = D0
(S2 # K1) # D3 = D1 # D3 = D0
oder
D1 # (K2 # D3) = D1 # S1 = K1
(D1 # K2) # D3 = S1 # D3 = K1
Neutrales Element:
D2 # D0 = D2
Inverses Element:
D1 # -D1 = D0
Somit handelt es sich um eine Gruppe.
Kommutativität:
K1 # D3 = S2
D3 # K1 = S1
Somit: K1 # D3 ungleich D3 # K1, d.h. es ist keine Kommutativität vorhanden.