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Hafele-Keating-Experiment, ein Versuch bezüglich der Relativitätstheorie zwecks Bestätigung oder Falsifizierung der Zeitdilatation, wonach eine Uhr langsamer gehen soll, wenn sie sich im schnelleren von zwei Bezugssystemen befindet. Im Jahre 1971 wurden 4 Atomuhren einmal in Ost- und dann in West-Richtung an Bord von Linienflugzeugen um den Globus befördert, während eine stationäre Uhr in den USA als Bezugsuhr diente. So bestand das Experiment zum Einen aus konkreten Zeitmessungen mit den Cäsium-Atomuhren und zum anderen aus Rechnungen mit den Formeln zur Zeitdilatation bezüglich der Zeitdilatation bezüglich der Geschwindigkeit nach der SRT und zum anderen der Zeitdilatation bezüglich der Gravitation bezüglich der ART. Der Versuch wurde von den britischen Physikern Joseph C. Hafele und Richard E. Keating durchgeführt.

Allgemeines Bearbeiten

Der Physiker Albert Einstein praegte in seiner speziellen Relativitaetstheorie den Begriff der "Zeitdilatation" (Zeitdehnung), wonach "bewegte Uhren langsamer gehen sollten". Diese Aussage wurde durch die Formel

t_bew=t_ruh*sqrt(1-v²/c²)

ausgedrueckt.

Da es keine absolute Geschwindigkeit mit dem Wert v = 0 m/s gibt, entsteht eine gewissen Spannung, wie eine experimentielle Bestätigung der These von der "Zeitdilatation" aussehen würde. Eine Antwort vorweg, es wurde ein bestimmtes Bezugssystem vor anderen privilegiert. Das Projekt im Oktober 1971 bestand aus zwei Teilen, einer Zeitnahme durch fünf ganggenaue Uhren (vier per Flugzeug bewegt und eine stationär in den USA) und einer Vergleichsrechnung zum Experiment. Für diese Rechnung wurde der Ursprung des ruhenden Bezugssystems auf dem Erdumfang gewählt, wobei dieses Bezugssystem BS die Erdrotation allerdings nicht mitmacht.

In diesem wird die Bewegung der stationären Uhr auf dem Erdunmfang mit der Umfangsgeschwindigkeit v_E = 463,239 m/s in Ostrichtung angenommen, so dass die Uhren, welche in zwei Flugzeugen mit - angenommen - v = 200 m/s nach Osten flogen und die Uhren, die ebenfalls in zwei Flugzeugen mit gleicher Geschwindigkeit nach Westen flogen, sich mit

v_E+v=463,239m/s+200m/s=663,239m/s in Ostrichtung

und mit

v_E-v=463,239m/s-200m/s=263,239m/s in Westrichtung

bewegten. Unter Annahme dieses BS wurden nunmehr die Zeitdifferenzen zur stationären Uhr errechnet und dann mit den gestoppten Werten nach den Flügen verglichen.


Ergebnistabelle Rechnung und Messung Bearbeiten

Gravitation Geschwindigkeit Summe Messung
Flug in Ostrichtung 144+/-14ns -184+/-18ns -40+/-23ns -59+/-10ns
Flug in Westrichtung 179+/-18ns 96+/-10ns 275+/-21ns 273+/-7

Rechnerisch wurden Sagnac-Effekt, Gravitation und Geschwindigkeit ausgewertet. Da sich die behauptete "Zeitdilatation" nur auf die Geschwindigkeit bezieht, soll nachfolgend auch nur dieser "kinematische" Aspekt der Berechnungen zum Experiment behandelt werden.


Mathematisches Instrumentarium zur Berechnung Bearbeiten

Wie gesagt, berechnet sich die Eigenzeit t_bew (bzw. tau) aus der Multiplikation der Zeit im Ruhesystem t_ruh und dem Gangfaktor sqrt(1-v²/c²), so dass die Grundformel

t_bew=t*sqrt(1-v²/c²)

lautet. Da sich die Ausdrücke unter den Wurzeln nur sehr wenig von 1 unterscheiden, können die Wurzeln, d.h. die Gangfaktoren, als Taylorreihen geschrieben werden:

t_bew~t*[1-v²/2*c²]


Berechnung der "Zeitdilatation" Bearbeiten

Bei der konkreten Versuchsdurchführung ergaben sich Streckenabschnitte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, so dass für die Dauer eines konstanten Einzelwertes der Geschwindigkeit ein Zeitintervall gebildet wurde. Zum Schluss wurde dann mit Hilfe der Aufsummierung multiplikativer Terme die "Zeitabweichung" für die Gesamtstrecke errechnet. Da nicht über 200 einzelne Terme in diesem Artikel sinnvoll gelistet werden können, sollen die Rechnungen mit der Zeitdauer des gesamten Fluges von 41,2h durchgeführt werden.


Berechnung der "Zeitdilatation" des Fluges in Westrichtung Bearbeiten

Die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit wird mit v=200m/s angenommen, die Flugdauer mit t=41,2h und die Geschwindigkeit der stationären Uhr sollte der Umfangsgeschwindigkeit der Erde, v_E=463,239m/s, entsprechen. Somit ergibt sich für die stationäre Uhr eine Eigenzeit von

t_stat=t*[1-(v_E)²/2*c²]

Für die Uhr, welche die Erde in westlicher Richtung umrundet hatte, eine Eigenzeit von

t_west=t*[1-(v_E-v)²/2*c²]
Wobei sich die Differenz "v_E-v" dadurch ergibt, dass bezüglich des gewählten Bezugssystems die Geschwindigkeiten entgegengesetzt gerichtet sind. Ziel des Experimentes war es, einerseits die Zeitdifferenzen bezüglich der stationären Uhr zu berechnen und andrerseits nach dem Flug per Zeitablesung und Vergleich diese direkt festzustellen. Bei Übereinstimmung von Berechnung mit Hilfe der Formel für die "Zeitdilatation" und Zeitablesung nach dem Flug, ging man von einer Bestätigung der Formel für die "Zeitdilatation" aus. Um die Berechnung - nachvollziehen zu können, soll nunmehr die rechnerische Zeitdifferenz zwischen der stationären und der Uhr auf der Westroute berechnet werden:

delta_t_stat/west=t_west-t_stat=t*[1-(v_E-v)²/2*c²]-t*[1-(v_E)²/2*c²]=

=t*{-[(v_E-v)²-v_E]/2*c²}=(-1/2*c²)*(v²-2*v*v_E)*t

Eingesetzt ergibt sich somit:

delta_t_stat/west=[-1/2*(2,99792458*10^8)²]*(200²-2*463,239*200)*41,2*3600=1,1988939*10^-7=119,889ns

Diese Berechnung mit einer konstanten Geschwindigkeit stimmt ungefähr mit der Rechnung beim H&K-Experiment 96ns überein.


Berechnung der "Zeitdilatation" des Fluges in Ostrichtung Bearbeiten

Für die Uhr, welche die Erde in Ostrichtung umrundet hatte, ergibt sich eine Eigenzeit von

t_ost=t*[1-(v_E+v)²]

d.h. eine Zeitdifferenz zur stationären Uhr :

delta_t_stat/ost=tau_ost-tau_stat=t*[1-(v_E+v)²/2*c²]-t*[1-(v_E)²/2*c²]=

=t*{-[(v_E+v)²-(v_E)²]/2*c²}=(-1/2*c²)*(2*v_E*v+v²)*t

Eingesetzt ergibt sich somit:

delta_t_stat/ost=[-1/2*(2,99792*10^8)²]*(2*463,239*200+200²)*41,2*3600=-1,859*10^-7=-185,9ns


Diese Berechnung mit einer konstanten Geschwindigkeit 200m/s stimmt ungefähr mit der Rechnung beim H&K-Experiment -184ns überein.


Rechnerische Auswertung des Experimentes Bearbeiten

Wie gesagt, bestand das H&K-Experiment aus den Zeitmessungen von zwei nach Osten bewegten und zwei nach Westen bewegten Uhren und einer stationären Uhr. Diese konkreten Zeitmessungen sollten ähnliche Zeitabweichungen von der stationären Uhr anzeigen, wie sie mit den abschnittsweise erfassten Geschwindigkeiten berechnet wurden. Die Originalrechnungen wurden so ausgeführt, dass streckenabschnittsweise die Differenzen zwischen den Eigenzeiten der stationären und der bewegten Uhr gebildet und dann aufsummiert wurden:

delta_t_v=(-1/2*c²)*Sigma (von i=1 bis k) (v_i)²*delta_tau_i

Für die "Westroute" ergibt sich so eine Aufsummierung der Differenzen

delta_t_stat/west=(-1/2*c²)*sigma (von i=1 bis k) [(v_i)²-2*v_E*v_i]*t_i

und für die "Ostroute":

delta_t_stat/ost=(-1/2*c²)*sigma (von i=1 bis k) [(v_i)²+2*v_E*v_i]*t_i


Fazit des Experimentes Bearbeiten

Bei Wahl eines BS, dessen Ursprung auf dem Erdumfang ruhend ist, ergibt sich unter Anwendung der Formel zur "Zeitdilatation" ein rechnerisches Resultat, welches grob mit den gemessenen Zeiten der Uhren übereinstimmt.

Weblinks Bearbeiten

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