Masse-Feder-Modell als Darstellung von zwei Luftvolumina zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung

Ziel war es, das Phänomen der Übertragung von Schallwellen mit konstanter Schallgeschwindigkeit dadurch verständlich zu machen, dass die Verhältnisse von der Schallerzeugung per Lautsprechermembran bis zur Übertragung im Medium Luft als Modell dargestellt werden. Als Zwischenstufe wird das Übertragungsmedium Luft so gedacht, als wäre es in viele einzelne Gaskörper aufgeteilt, die elastisch die Schallwellen weiterleiten und so einen Informationskanal bilden. Jedes einzelne Luftvolumen wurde dann wiederum auf ein mechanisches Feder-Masse-Modell abgebildet, wie es für ein Luftvolumen bereits im vorigen Kapitel abgebildet worden ist. In diesem Kapitel soll nunmehr ein mechanisches Feder-Mass-Modell mit zwei Stufen durchgerechnet werden – und es wird angestrebt, zumindest einen Zusammenhang mit dem Zahlenwert der Schallgeschwindigkeit, ca. 331 m/s, herzustellen. Somit werden, wie in den Abbildungen dargestellt, zwei Luftvolumen auf ein Feder-Masse-Modell mit zwei Stufen abgebildet:

Darstellung von zwei Luftvolumina

Darstellung von zwei elastisch gelagerten Massen

Wie im Artikel Methode zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung wird von Gleichheit der Spannkraft einer Druckfeder mit der Trägheitskraft einer Masse ausgegangen. Weil die Beschleunigung der ersten Masse allerdings nicht frei ist, da die Spannkraft der zweiten Druckfeder als Gegenkraft wirkt, ist ein Gleichungssystem zur Berechnung erforderlich:

Erste Gleichung:

$F1_{spann} = F1_{traeg}$

Mit $F1_{spann} = D \cdot \Delta l_{1} = \frac {A \cdot \kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{1}$

Und

$F1_{traeg} = m \cdot a_{1} = V \cdot \rho \cdot a_{1} = A \cdot l \cdot \rho \cdot a_{1}$

Somit ergibt sich die Gleichung:

$\frac {A \cdot \kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{1} = A \cdot l \cdot \rho \cdot a_{1}$

Also:

$\frac {\kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{1} = l \cdot \rho \cdot a_{1}$

Zweite Gleichung:

$F2_{spann} = F2_{traeg}$

Mit:

$F2_{spann} = D \cdot \Delta l_{1} = \frac {A \cdot \kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{2}$

Und

$F2_{traeg} = m \cdot a_{2} = V \cdot \rho \cdot a_{2} = A \cdot l \cdot \rho \cdot a_{2}$

Somit ergibt sich die Gleichung:

$\frac {A \cdot \kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{2} = A \cdot l \cdot \rho \cdot a_{2}$

Also:

$\frac {\kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{2} = l \cdot \rho \cdot a_{2}$

Dritte Gleichung:

$\Delta l_{2} = \frac {a_{1}}{2} \cdot t_{1}^2$, wegen Formel $s = \frac {a}{2} \cdot t^2$

Somit:

$a_{1} =\frac {2 \cdot \Delta l_{2}}{t_{1}^2}$

Vierte Gleichung:

$\Delta l_{3} = \frac {a_{2}}{2} \cdot t_{2}^2$

Somit:

$a_{2} =\frac {2 \cdot \Delta l_{3}}{t_{2}^2}$

Fünfte Gleichung:

$t = t_{1} + t_{2}$

Somit:

$t_{1} = t - t_{2}$

Lösung des Gleichungssystems:

3 in 1:

$\frac {\kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{1} = \frac {l \cdot \rho \cdot 2}{t_{1}^2} \cdot \Delta l_{2}$

4 in 2:

$\frac {\kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{2} = \frac {l \cdot \rho \cdot 2}{t_{2}^2} \cdot \Delta l_{3}$

5 in 31:

$\frac {\kappa \cdot p}{l} \cdot \Delta l_{1} = \frac {l \cdot \rho \cdot 2}{(t - t_{2})^2} \cdot \Delta l_{2} = \frac {l \cdot \rho \cdot 2}{(t^2 - 2 \cdot t \cdot t_{2} + t_{2}^2)} \cdot \Delta l_{2}$

42 nach $t_2$ umgestellt:

$t_{2}^2 = \frac {l \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{3} \cdot l}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{2}} = \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{3}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{2}}$

$t_2 = \sqrt \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{3}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{2}}$

Aus 531:

$t^2 - 2 \cdot t \cdot t_{2} + t_{2}^2 = \frac {l \cdot \rho \cdot 2 \cdot l \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}} = \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}$

Es soll per Quadratischer Gleichung die Gesamtzeit t berechnet per pq-Formel berechnet werden.

Pq-Formel:

Die Normalform: $x^2 + p \cdot x + q = 0$ hat die Lösungen:

$x_{1} = - \frac {p}{2} + \sqrt ((\frac {p}{2})^2 - q)$

Oder:

$x_{2} = - \frac {p}{2} - \sqrt ((\frac {p}{2})^2 - q)$

Somit:

$t^2 - 2 \cdot t \cdot t_{2} + t_{2}^2 = \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}$

$t^2 - 2 \cdot t \cdot t_{2} + t_{2}^2 - \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}} = 0$

$p = - 2 \cdot t_{2}$

Und:

$q = + t_{2}^2 - \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}$

$t = \frac {2 \cdot t_{2}}{2} + \sqrt ((t_2)^2 - (t_2)^2 + \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}})$

$t = t_{2} + \sqrt ((t_2)^2 - (t_2)^2 + \frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}})$

$t = t_{2} + \sqrt (\frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}})$

t2 aus 42 eingesetzt:

$t = \sqrt (\frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{3}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{2}}) + \sqrt (\frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}})$

$\Delta l_{2} = 2 \cdot \Delta l_{3}$

und

$\Delta l_{1} = 2 \cdot \Delta l_{2}$

$t = \sqrt (\frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{3}}{\kappa \cdot p \cdot 2 \cdot \Delta l_{3}}) + \sqrt (\frac {l^2 \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{\kappa \cdot p \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}})$

$t = \sqrt (\frac {l^2 \cdot \rho}{\kappa \cdot p}) + \sqrt(\frac {l^2 \cdot \rho}{\kappa \cdot p}) = 2 \cdot l \cdot \sqrt(\frac {\rho}{\kappa \cdot p})$

$\frac {2 \cdot l}{t} = \frac {1}{\sqrt(\frac {\rho}{\kappa \cdot p})}$

$\frac {2 \cdot l}{t} = \sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho})$

$\frac {L}{t} = \sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho})$

$\frac {L}{t} = \sqrt(\frac {1,402*101325}{1,293}) = \sqrt(109866,7) = 331,46 \frac {m}{s}$

Dies ist der bekannte Zahlenwert für die Schallgeschwindigkeit in Luft.

Siehe auch

Federkonstante Luft
Methode zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung