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Differentialgleichung

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Richtungsfeld der DGL y' = y - x


Unter einer Differentialgleichung versteht man eine Gleichung, die eine Funktion und deren Ableitungen enthält. Als Beispiel sei die Gleichung y' − y = 0 genannt. Nach Umformung hätte man y' = y und würde als Lösung der DGL eine Funktion vermuten, deren Ableitung mit der Funktion übereinstimmt, z.B. y=ex, d.h. diese Funktion wäre eine Lösung. Wobei hier auch ein Faktor vor der Exponentialfunktion stehen könnte, d.h. y=c ⋅ ex. Wenn die Funktion, welche die Differentialgleichung löst, nur von einer Variablen abhängt, so handelt es sich um eine Gewöhnliche Differentialgleichung - bei mehreren Variablen und Ableitung nach einer Variablen heißt es Partielle Differentialgleichung. Weitere Begriffe beziehen sich auf die Anzahl der Ableitungen, z.B. handelte es sich bei dem obigen Beispiel um eine DGL 1. Ordnung, da keine höhere als die erste Ableitung vorhanden ist. Als Schreibweise ist es üblich, die als Lösung gesuchte Funktion mit y zu bezeichnen und einen Term mit der Variablen x dann mit ƒ(x). Beispiel: y' = ƒ(x).


Gewöhnliche Differentialgleichungen

Einfache Beispiele

  1. Die Gleichung y' = y ist eine DGL I. Ordnung, da nur die erste Ableitung vorhanden ist. Weil abgeleitete und nicht abgeleitete Funktion gleich sind, kommt nur eine Lösungsfunktion in Frage, die sich bei der Ableitung nicht ändert. Dies wäre aus Erfahrung die Exponentialfunktion y=ex. Da sich ein konstanter Faktor vor dem Term mit der Variablen auch nicht ändern würde, käme hier auch die Lösung: y=c*ex in Frage. 
  2. Die Gleichung y' = ƒ(x) ist eine DGL I. Ordnung. Man kann y' = dy/dx = ƒ(x)  schreiben und somit dann dy = ƒ(x)*dx schreiben und zur Bestimmung der Lösungsfunktion y  integrieren: y=∫ƒ(x)*dx=F(x). Nachfolgend eine Beispielsrechnung: Die Gleichung y'=2*x ist gegeben. Die gesuchte Lösungsfunktion y kann über das Integral bestimmt werden: y'=2*x und somit y=2x*dx=2/3*. Somit wäre die gesuchte Funktion y=2/3*x³+c. Wobei die Konstante c durch die Bildung der Stammfunktion beim Integrieren entstanden ist. Wenn ein Punkt vorgegeben wird, kann auch die Konstante c bestimmt werden. In diesem Beispiel y=2/3⋅x³+c könnten bei dem Punkt x = 3 und y = 30 die Werte in die Lösungsfunktion eingesetzt werden und man hätte: 30=2/3*3³+c, 30=18+c, c=12 - und somit die Lösungsfunktion:  y=2/3*x³+12.

 DGL 1. Ordnung der Form: y'=ƒ(x)*g(y) 

Wenn eine DGL mit den Faktoren f(x)*g(y) geschrieben werden kann, dann ist es möglich, die Lösungsfunktion mit Hilfe von zwei gleichgesetzten Integralen der Form 1/g(y)*dy=(f(x)*dx) zu bestimmen. Beispielsrechnung: Gegeben sei die Gleichung y'=2/x*y, welche in die Faktoren f(x)=2/x und g(y)=y aufgeteilt werden kann. Bildet man die Integrale so ergibt sich: 2/x*dx=2*1/x*dx=2*ln(x) und 1/g(y)*dy=ln(y). Gleichgesetzt erhält man also ln(y)=2*ln(x) und umgeformt per ln-Rechnung: ln(y)=ln(x²), dann auf beiden Seiten mit e als Basis geschrieben: eln(y)=eln(x²) und nach Definition ln-Rechnung ergibt sich dann die Lösungsfunktion y=x². Zur Probe in die Ausgangsgleichung y'=2/x*y eingesetzt: y=x², y'=2x dann eingesetzt: 2x=2/x*x²=2x, d.h. die Lösungsfunktion y=x² ist richtig.

Homogene lineare DGL 1. Ordnung der Form: y'+f(x)*y=0

Die DGL der Form y'+f(x)*y=0 hat eine Allgemeine Lösung: y(x)=c*e-F(x) mit der Stammfunktion F(x)=f(x)*dx. Beispielsrechnung: Gegeben sei eine DGL y'-y/x=0, mit f(x)=-1/x. Somit ergibt sich die Stammfunktion F(x)=-1/x*dx=-ln(x). Man könnte jetzt also mit der Allgemeinen Lösung: y(x)=c*e-F(x) schreiben: y(x)=c*eln x=c*x. Die Lösungsfunktion wäre so die Funktionenschar: y(x)=c*x. Wäre ein Punkt mit (3|6) gegeben, könnte man c berechnen: y(x)=c*x, 6=c*3, c=2 und somit die Lösungsfunktion: y=2*x. Zur Probe eingesetzt in die Ausgangsgleichung y'-y/x=0, könnte man schreiben: y=2*x, dann y'=2 und somit die Gesamtgleichung mit eingestzten Termen: 2-2*x/x=0, d.h. die eingesetzte Lösungsfunktion war richtig.

Lösung per Substitution von DGL der Form: y'=f(ax+by+c)

Beispiele für f(ax+by+c) könnten sein: f(ax+by+c)=3*(ax+by+c) oder f(ax+by+c)=5*(ax+by+c)+7. Liegt eine Differentialgleichung dieses Typs vor, so wird der Term (ax+by+c) als eine Variable u zusammengefaßt: u=(ax+by+c), insofern wäre dann y'=f(u) und u'=du/dx=a+b*f(u). Diese Ableitung u'=a+b*f(u) läßt sich als Produkt u'=1*(a+b*f(u)) schreiben. Nunmehr kann ein Lösungsansatz für - separierbare - DGL der Form: y'=f(x)*g(y), mit 1/g(y)dy=f(x)dx angewendet werden, d.h. es wird eine Gleichsetzung der entsprechenden Integrale vorgenommen: u'=1*(a+b*f(u)), dann 1/(a+b*f(u))*du=1*dx. Die Wiedereinsetzung der Terme für u führt dann auf eine Form, die nur noch y enthält und somit eine Lösungsfunktion der DGL darstellt. Beispiel: Die Lösungsfunktion y der DGL y'=x+y soll bestimmt werden. Entsprechend der Form dieses Typs normiert wäre y'=f(ax+by+c)=(1*x+1*y+0)=x+y. Somit wäre y'=u und u'=du/dx=1+dy/dx=1+y'=1+u. Es kann nunmehr das Produkt geschrieben werden: u'=1*(1+u), so dass die Gleichsetzung der Integrale ausgeführt werden kann: 1/(1+u)*du=1*dx. Die Stammfunktion wird per Tabellenbuch ermittelt: 1/(1+u)*du=ln|u-(-1)|=ln|u+1| und 1*dx=x. Somit erhält man die Gleichung: ln(u+1)=x und kann diese als Exponentialfunktion schreiben: eln(u+1)=ex, somit per ln-Definition: u+1=ex. Rückeinsetzung für u ist u=x+y, d.h. u+1=ex dann eingesetzt: x+y+1=ex und umgestellt nach der Lösungsfunktion: y=ex-x-1. Diese Lösungsfunktion ergibt die Ableitung y'=ex-1. Zur Probe werden y und y' in die Ausgangsgleichung y'=x+y eingesetzt: ex-1=x+ex-x-1, d.h. 0=0, die DGL mit der eingesetzten Lösungsfunktion und ihrer Ableitung ergibt eine wahre Aussage.

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung der Form: y'+f(x)*y=g(x)

y(x)=a(x)*e-F(x) mit a(x)=g(x)*eF(x)*dx und der Stammfunktion: F(x)=f(x)*dx Beispiel: y'+y=2, d.h. f(x)=1 und g(x)=2 Also: F(x)=1*dx=x und dann: a(x)=2*ex*dx=2ex*dx=2*ex und dann y(x)=2*ex*e-x=2*ex-x=2 Somit ist die Lösungsfunktion der DGL y(x)=2 Probe: Eingesetzt in y'+y=2 ergibt: 0+2=2, 2=2, d.h. richtig.

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit Konstante der Form: y'+a0*y=g(x)

Wenn der Faktor a0 konstant ist, erhält man die Lösungsfunktion als y(x)=y_h+y_p, wobei "h" für "Homogene DGL" und "p" für "Partikuläre Lösungsfunktion" steht. Man findet für y_h einen Ansatz über: y_h(x)=c*e-a0*x und einen Ansatz für y_p aus der nachfolgend dargestellten Liste:



g(x)= y_p(x)=
b_0+b_1*x+b_2*x²+ ...+b_n*x^n c_0+c_1*x+c_2*x²+...+c_n*x^n
b*ek*x k ungleich -a0 c*ek*x
b*ek*x k=-a0 c*x*ek*x
b_1*sin(x)+b_2*cos(x) c_1*sin(x)+c_2*cos(x)

Beispiele:

y'+y=2*ex Der Vergleich mit der allgemeinen Form: y'+a0*y=g(x) zeigt, dass a0=1 und g(x)=2*ex. Für allgemein: y_h=c*e-a0*x erhält man im Beispiel: y_h=c*e-x. Zur Bestimmung der Ansatzfunktion y_p wäre nach Tabelle zu entscheiden, was vorliegt: Die Konstante a0=1 und g(x)=2*ex, somit würde die Zeile mit g(x)=b*ek*x vorliegen, d.h. g(x)=2*ex, somit ist k=1 und damit ungleich -a0=-1. Man würde für y_p den Ansatz: y_p=c*ek*x erhalten, d.h. auf die Aufgabe bezogen die Partikuläre Lösungsfunktion: y_p=c*ex. Also erhält man als Lösungsfunktion: y(x)=y_h+y_p; y(x)=c*e-x+c*ex. Dann wäre die Ableitung: y'(x)=-c*e-x+c*ex Zur Probe eingesetzt in die Ausgangsgleichung: y'+y=2*ex ergibt: -c*e-x+c*ex+c*e-x+c*ex=c*ex+c*ex=2*c*ex für c=1 also korrekt. Abschließend hätte man mit c=1 dann die Lösungsfunktion: y(x)=e-x+ex, mit der Ableitung: y'(x)=-e-x+ex, so dass nunmehr wiederum die Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung gemacht werden kann: y'+y=2*ex; -e-x+ex+e-x+ex=2*ex, d.h. ist korrekt.
y'+3y=6x+11 Für y_h erhält man: y_h=c*e-3x. Zur Bestimmung von y_p folgt aus g(x)=6x+11, dass aus der obigen Tabelle die erste Zeile Gültigkeit hat und somit y_p=c_0+c_1*x sein müßte. Aus diesem Grunde kann die Lösungsfunktion mit y(x)=y_h+y_p mit y(x)=c*e-3x+c_0+c_1*x geschrieben werden, so dass die Ableitung: y'(x)=-3c*e-3x+c1 ist. Zur Berechnung der Koeffizienten c, c_0, und c_1 wird in die Ausgangsgleichung: y'+3y=6x+11eingesetzt: -3c*e-3x+c1+3*(c*e-3x+c_0+c_1*x)=6x+11,somit: -3c*e-3x+c1+3c*e-3x+3*c_0+3c_1*x=6x+11,somit: c_1+3*c_0+3*c_1*x=6x+11.Per Schlussfolgerung können die Koeffizienten c_0 und c_1 bestimmt werden: Da der x-Term "6x" ist und andererseits 3c_1x steht, wäre c_1=2, so dass 3c_1x=3*2*x=6x ist. Da der konstante Term "11" ist und andererseits c_1+3*c_0 steht, wobei c_1=2, gilt also: c_1+3*c_0=2+3*c_0=11, somit: c_0=3. Als Zwischenergebnis ergibt sich die Lösungsfunktion: y(x)=c*e-3x+3+2x mit Ableitung: y'(x)=-3c*e-3x+2. Setzt man dieses Zwischenergebnis der Lösungsfunktion in die Ausgangsgleichung y'+3y=6x+11 ein, so ergibt sich: -3c*e-3x+2+3*(c*e-3x+3+2x)=-3c*e-3x+2+3*c*e-3x+9+6x=2+9+6x=6x+11. Es zeigt sich, dass die Konstante c unerheblich ist, da sich die Terme mit c aufheben, so dass letzten Endes die Lösungsfunktion: y(x)=2x+3 lautet. Probe per Einsetzung in die Ausgangsfunktion y'+3y=6x+11: 2+3*(2x+3)=2+6x+9=6x+11, d.h. die Lösungsfunktion y(x)=2x+3 ist das richtige Ergebnis.



Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung der Form: y"+ ay' + by=0

Die Lösungsfunktion bei a, b = const. ergibt sich aus Fallunterscheidung der Beziehung zwischen den Konstanten a und b:<tbody> </tbody>
FallunterscheidungWeitere RechnungLösungsfunktion
a² - 4b > 0r1, 2=-a/2 +/- √(a²/4 - b)y=c1 * er1 * x + c2 * e r2 * x
a² - 4b = 0 y=e-a/2 * x * (c1 + c2 * x)
a² - 4b < 0k=√(b-a²/4)y=e-a/2 * x * (c1 * cos k * x + c2 * sin k * x)
a² - 4b < 0k=√(b - a²/4), A=√(c1² + c2²), tan φ = c1/c2y=e-a/2 * x * sin (k*x + φ)
Beispiel: Gesucht sei die Lösungsfunktion y der DGL: y" + 2*y' + y = 0. Zuerst ist eine Fallunterscheidung bezüglich der Konstanten a, b zu treffen. Die allgemeine Form lautet: y"+ ay' + by=0, somit handelt es sich bei der gegebenen DGL y" + 2*y' + y = 0 um die Konstanten: a=2 und b=1, d.h. die zweite Zeile der Tabelle mit a² - 4b = 0 enthält die allgemeine Lösungsfunktion: y=e-a/2 * x * (c1 + c2 * x). Es werden die Ableitungen der allgemeine Lösungsfunktion gebildet, um sie danach in die gegebene DGL einsetzen zu können, um c1 und c2 so zu bestimmen, dass die Gleichung - wie bei diesem Typ vorausgesetzt - gleich null wird. Mit der bekannten Konstanten a=2 ergibt sich:y'= - c1 * e- x - c2 * e- xundy"= c1 * e- x + c2 * e- xZur Bestimmung von c1 und c2 werden y, y' und y" in die gegebene DGL y" + 2*y' + y = 0 eingesetzt:

c1 * e- x + c2 * e- x + 2 * (- c1 * e- x - c2 * e- x) + c1 * e- x + c2 * x * e- x =c2 * e- x - 2 * c2 * e- x + c2 * x * e- x. Für c2 = 0 wird die Bedingung erfüllt, dass die rechte Gleichungsseite null ergibt. Somit entsteht aus der allgemeinen Lösungfunktion der zweiten Tabellenzeile: y=e-a/2 * x * (c1 + c2 * x) nunmehr mit eingesetzten a=1, c2=0 die Lösungsfunktion: y= c1 * e- x. Da sich zuvor bei der Einsetzung die Konstante c1 herausgehoben hatte, wird der Einfachheit halber c1=1 gesetzt, so dass die endgültige Lösungsfunktion: y=e- x lautet. Probe: Einsetzung der Lösungsfunktion und ihrer Ableitungen in die gegebene Gleichung mit y=e- x, y'=- e- x, y"= e- x ergibt für y" + 2*y' + y = 0: e- x + 2 * (- e- x) + e- x = 0 Somit ist

y=e- x

die Lösungsfunktion der gegebenen Differentialgleichung.


Richtungsfeld

Richtungsfeld DGL.jpg

Richtungsfeld der DGL y' = y mit der Lösungsfunktion y = c*e^x


Das Richtungsfeld einer DGL entsteht, indem bei einer größeren Anzahl von Punkten (x|y) des Koordinatensystems die Steigung eingetragen wird. Man stellt die DGL nach y' um und setzt für x und y auf der anderen Gleichungsseite die x,y-Werte des Punktes ein und berechnet - das Resultat ist die Steigung m, welche ein Tangenswert darstellt und per arctan in die Winkelangabe umgerechnet werden kann. Nimmt man als Beispiel die Differentialgleichung y' = y dann hätte jeder Punkt (x|y) die Steigung des y-Wertes. Am Punkt (1|3) wäre die Steigung m=3, d.h. arctan(3)=71,565°, somit wird die Steigung mit diesem Winkel markiert. Es gibt unterschiedliche Programme, die das Richtungsfeld einer Differentialgleichung automatisch erstellen. Durch das Ausfüllen eines Richtungsfeldes kann die Lösungsfunktion ungefähr geschätzt werden.

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