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EinleitungBearbeiten

Bei diesem Modell stellt man sich vor, dass sich die Valenzelektronen der Kristallatome frei durch den Kristall bewegen können. Das Potential für ein solches Leitungselektron ist also innerhalb der Probe konstant und wird am Probenrand durch eine Potentialbarriere begrenzt (Kastenpotential).

In dieser Näherung werden u.a. gut beschrieben:

  • Ohmsches Gesetz
  • Wärmekapazität von Metallen
  • thermische Leitfähigkeit von Metallen

Rechtfertigung der AnnahmenBearbeiten

  • Ein Leitungselektron wird von den Atomrümpfen eines periodischen Gitters nicht abgelenkt, da sich Materiewellen in einem periodischen Potential ungehindert ausbreiten können.
  • Da sich wegen dem Pauliprinzip die Leitungselektronen in verschiedenen Orbitalen aufhalten müssen, streuen sie untereinander nur selten.
  • Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen wird von den übrigen Elektronen weitgehend abgeschirmt.

EinelektronennäherungBearbeiten

Wir werden uns wiederholt der sog. Einelekronennäherung bedienen. Dabei greifen wir ein Elektron heraus und beschreiben seine Bewegung im effektiven Potential aller anderen Elektronen und der Atomrümpfe. Die so erhaltenen Lösungen bezeichnen wir als Orbitale. Die Gesamtlösung konstruiert, indem man alle N Elektronen gemäß dem Pauliprinzip N unterschiedlichen Orbitalen zuordnet. Dieses Orbitalmodell kann jedoch nur dann exakt sein, wenn es keine Wechselwirkung zwischen den einzelnen Elektronen gibt. Daher können Supraleitung und Magnetismus mit dieser Näherung nicht beschrieben werden.

ZustandsdichteBearbeiten

Wir berechnen zunächst die Zustandsdichte pro Volumen für ein Fermigas. Dazu nehmen wir die Elektronen als ebene Wellen an, was in Verbindung mit der freien stationären Schrödingergleichung die Energiewerte

E\frac{\hbar^2k^2}{2m}

ergibt. Indem man die endliche Ausdehnung der Probe (V=L^3) berücksichtigt, erhält man mit periodischen Randbedingungen für die Komponente i des Wellenvektors die möglichen Werte

k_i=\frac{2\pi} L m_i

wo m eine ganze Zahl ist. Im Impulsraum findet man die gleiche Verteilung der k -Vektoren, wie für Phononen,

\rho_k=\frac{V}{(2\pi)^3}.

Man erhält also für die Zustandsdichte

\mathcal D(E) dE = \rho_k\int\limits_E^{E+dE}d^3k=\frac{\rho_k}{\hbar}dE\int\limits_{E=const}\frac{dS_E}{v_g},

wobei die nötigen Schritte analog zur Berechnung der Zustandsdichte der Phononen durchgeführt werden. Im Gegensatz dazu ist die Gruppengeschwindigkeit v_g=\hbar k/m allerdings richtungsunabhängig, sodass die Fläche gleicher Energie im Impulsraum eine Kugeloberfläche darstellt, es ist also

\int dS_E=4\pi k^2.
\Rightarrow \quad \mathcal D(E)dE=\frac{v}{(2\pi)^3\hbar}\cdot\frac{m}{\hbar k} 4\pi k^2 = \frac{(2m)^{3/2}\sqrt{E}}{4\pi^2\hbar^3} V.

Für die Zustandsdichte pro Volumen finden wir also das Ergebnis

D(E)=\frac{\mathcal D}{V}= \frac{(2m)^{3/2}\sqrt{E}}{4\pi^2\hbar^3}.

Fermi-GrößenBearbeiten

Als Fermionen gehorchen die Elektronen der Fermi-Dirac-Statistik, die Besetzung der Zustände bei der Temperatur T ist also gegeben durch

f(E)=\frac{1}{e^{(E-\mu)/k_B T}+1},

mit dem chemischen Potential \mu, das die Energie angibt, die nötig ist, um eine neues Elektron in das "Gas" einzubringen. Da die Eigenschaften des Elektronengases stark davon abhängen, bis zu welcher Energie die Zustände besetzt sind, definiert man einige Größen, die mit dieser Energie zusammenhängen.

  • Die Fermi-Energie ist die Energie, bis zu der alle Zustände lückenlos aufgefüllt sind. Bei T=0 ist dies bis Fermiverteilung eine Stufenfunktion, mit der Stufe bei E=\mu, in diesem Fall ist also E_F=\mu und die Fermi-Energie lässt sich mit der Elektronendichte n,
n=\frac N V = \int\limits_0^{E_F}D(E)dE=\frac{(2m)^{3/2}}{2\pi^2\hbar^3}\cdot\frac{2 E_F^{3/2}}{3},

berechnen zu

E_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}.

Damit lassen sich nun einige Größen definieren, die in späteren Überlegungen von Nutzen sein werden, denn zu den meisten Prozessen tragen nur die Elektronen nahe der Fermi-Kante, also in der Umgebung der Fermi-Energie bei.

  • Fermi-Impuls
\hbar k_F=\hbar \sqrt{E_f\cdot 2 m} = (3\pi^2n)^{1/3}
  • Fermi-Geschwindigkeit
v_F=\frac{\hbar k_F}{m}
  • Fermi-Temperatur
T_F=\frac{E_F}{k_B}
  • Die Zustandsdichte an der Fermi-Kante
D(E_F)=\frac{3n}{2E_F}
  • Die Fermi-Kugel ist die vom Fermi-Impuls im Impulsraum aufgespannte Kugel, ihre Oberfläche ist die Fermi-Fläche.

Berechnungen von Fermi-Temperaturen zeigen, dass diese weit über der jeweiligen Schmelztemperatur liegen (Bsp: T_F(Na)=36\ 700 K bei  T_S(Na)=370,87 K, oder T_F(Al)=135\ 400 K bei  T_S(Al)=933,47 K . Daher kann das Verhalten des Festkörpers immer als nahe dem absoluten Nullpunktes betrachtet werden. Bei höheren Temperaturen weicht die Fermi-Kante auf und hat eine Breite von \approx 2k_B T, es wird also nur der Bruchteil T/T_F der Elektronen thermisch angeregt.

Spezifische WärmeBearbeiten

Zur Überprüfung der Anwendbakeit der Annahme des freien Elektronengases kann man den elektronischen Beitrag zur spezifischen Wärme berechnen. Dafür ist die innere Energie, genauer der Teil der inneren Energie \delta u(T), der von der Temperatur abhängt. Für eine erste Abschätzung kann man annehmen, dass die thermisch anregbaren Elektronen die Energie k_B T aufnehmen, also

\delta u(T)\approx nk_B \frac{T^2}{T_F}.

Die spezifische Wärme pro Volumen c_V^{el}=C_V^{el}/V ist also näherungsweise

c_V^{el}=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V\approx\frac{2nk_B T}{T_F}.

Für eine genaue Berechnung der spezifischen Wärme ist die u(T)-u(T=0) zu berechnen, was über das Integral

u(T)=\int\limits_0^\infty E D(E)f(E,T) dE

beinhaltet, was für T\not = 0 analytisch nicht lösbar ist. Für T\ll T_F ergibt sich jedoch in guter Näherung

c_V^{el}=\frac{\pi^2}{3}\frac{T}{T_F}\frac{3nk_B}{2}=\gamma T

mit der Sommerfeld-Konstante \gamma. Man sieht, dass die Näherung schon recht gut war, und auf jeden Fall alle Abhängigkeiten richtig beinhaltete. Die gesamte spezifische Wärme des Festkörpers ist also

c_V=\gamma T +\begin{cases}
3n_Ak_B & T > \Theta\\
\beta T^3 & T\ll\Theta
\end{cases}

Für hohe Temperaturen dominiert wegen der hohen Fermitemperatur hierbei der Gitterbeitrag, bei tiefen Temperaturen wird wegen der starken Temperaturabhängigkeit des Gitteranteils der elektronische Beitrag überwiegen. Diese Berechnung basiert auf der Annahme des freien Elektronengases und ist deshalb als Näherung zu sehen. Diese Näherung ist für verschiedene Materialien unterschiedlich gut. Da \gamma\propto m ist, beschreibt man Abweichungen von dieser theoretischen Berechnung durch eine thermische effektive Masse m_{th}^*, die durch m_{th}^*/m=\gamma_{exp}/\gamma_{theo} definiert ist. Vor allem für Übergangsmetalle weicht m_{th}^* stark von der Elektronenmasse ab, da dort die Näherung des freien Elektronengases wegen teilweise gefüllter d -Schalen nicht mehr so gut ist. In Schwerionensystemen kann m_{th}^*\approx 1000\ m werden.

Abgeschirmtes Coulomb-PotentialBearbeiten

In Metallen ist der mittlere Abstand der Leitungselektronen sehr klein (wenige \AA, z.B. Cu:  2,56 \AA, boah warum sieht das so kacke aus???), sodass nicht unbeträchtliche Coulombenergien auftreten müssten, die in der Größenordnung der kinetischen Energie des Fermigases liegen. Dass die Annahme des freien Fermigases dennoch anwendbar ist, hat verschiedene Gründe, siehe Rechtfertigungen, auf die Abschirmung des Coulombpotentials soll hier noch einmal gesondert eingegangen werden.

Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei Elekronen wird von den restlichen weitgehend abgeschrimt. Anschaulich gesagt wird das Coulompotential eines Elektrons, in dem sich ein anderes Elektron befindet von den anderen Elektronen abgeschwächt. Diese Situation lässt sich durch ein Potential in Form eines Yukawa Potentials beschreiben.

\phi(r)=-\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{-r/r_{TF}}}{r},

mit der Thomas-Fermi-Abschirmlänge r_{TF}=\sqrt{\varepsilon_0/e^2D(E_F)}. Die Reichweite dieses Potentials ist sehr viel geringer als die des Coulomb-Potentials.

Mit dieser Überlegung kann auch bestimmt werden, ob ein Material mit bestimmter Gitterkonstante und Elektronendichte ein Metall oder ein Isolator ist. Denn auch das Potential der Atomrümpfe wird abgeschirmt (übrigens genauso wie das von Defekten etc.), was zu einer höheren kinetischen Energie der Elektronen führt. Die Zustände der Elektronen gewinnen so an Energie, bis sie nicht mehr gebunden sind, die Substanz ist dann ein Metall.

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