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Mathematischer Aufstieg zum Integral

Mathematischer Aufstieg zum Integral

Das Integral ordnet einer Funktion eine Stammfunktion zu. Werden die Grenzen des Intervalls, in welchem gerechnet wird, eingesetzt, so wird aus dem Unbestimmten Integral (nur Stammfunktion) das Bestimmte Integral (Stammfunktion mit Integrationsgrenzen) und man erhält einen konkreten Zahlenwert als Lösung. Die Integralrechnung gehört mit zur Analysis. Anschaulich wird mit Hilfe des Integrals die Fläche unter dem Graphen z.B. der Funktion f(x) und der x-Achse als Abzisse berechnet, wobei diese Flächen nach links und rechts die Integrationsgrenzen als Anfang und Ende hat.

Bestimmtes Integral Bearbeiten

Allgemein kann aus der Quadratfunktion f(x) = x² die Stammfunktion F(x) bestimmt werden. Dies geht nach der Formel:
Stammfunktion aus Potenz
Stammfunktion aus Quadratfunktion
Wenn man also die Fläche zwischen den linken und rechten Grenzen x=a und x=b berechnen will, bestimmt man die Stammfunktion und setzt danach die Werte für "a" und "b" in die Stammfunktion ein und zieht diese voneinander ab:
Bestimmtes Integral Berechnung
In diesem Falle konkret also:
Bestimmtes Integral Quadratfunktion

Integral Anwendungen Bearbeiten

Häufig wird das Integral benutzt, um beispielsweise Produkte der Art f(x) * t berechnen zu können.


Weg als Geschwindigkeit mal ZeitBearbeiten

Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit, v =\frac s t, definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h. s = v * t.
Etwas komplizierter wird es, wenn es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, so dass die Geschwindigkeit ständig größer wird und somit eine Funktion von der Zeit, d.h. v(t), darstellt. Da die Beschleunigung wiederum als Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit definiert ist, kommt man auf die Geschwindigkeit, indem man den Zahlenwert der Beschleunigung mit der Gesamtzeit multipliziert, d.h. v(t)=a*t.
Wollte man jetzt den Weg bei einer solchen beschleunigten Bewegung bestimmen, so müsste man in einem Diagramm Rechtecke bilden, die als Ordinate (senkrecht) das Produkt a*t und als Abzisse (waagerecht) ein kleines Zeitintervall Δ t enthalten würden. Das Aufsummieren solcher Rechtecke stellt die typische Anwendung des Integrals dar, so dass geschrieben werden kann, dass der Weg s gleich:
Diagramm Geschwindigkeit Zeit

Diagramm Geschwindigkeit aus Zeit

Integration Weg aus Geschwindigkeit Zeit

Bestimmtes Integral mit Weg aus Geschwindigkeit und Zeit mit den Integrationsgrenzen t1, t2

Wenn t1 = 0 ist, dann:
Weg aus Beschleunigung Zeit
Dies ist dann auch die bekannte Formel des Weges aus Beschleunigung und Zeit:
Formel Weg Beschleunigung Zeit

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 3. A. (3. Januar 2008), ISBN 3764377550
  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 2., korr. Aufl. 2006. Nachdruck. (18. März 2006), ISBN 3764371056
  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 2. A. (18. September 2008), ISBN 3764388838
  • Otto Forster: Analysis 1 [Broschiert]; Vieweg Friedr. + Sohn Ver; Auflage: 7., verb. A. (Juli 2004), ISBN 3528672242

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