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Koordinatentransformation, Änderung der Koordinaten bei Transformation (Wechsel) zu einem anderen Koordinatensystem - dies geschieht meistens durch Transformationsgleichungen.

Translationen (Verschiebungen) Bearbeiten

Translation mit den folgenden allgemeinen Transformationsgleichungen:

x' = x - a
y' = y - b
z' = z - c

Beispiel:

x' = x + 1

y' = y + 2


Koordinatentransformation







Koordinatentransformation und Abstand









Kartesische Koordinaten und PolarkoordinatenBearbeiten

Point in polar coordinates

Im Polarkoordinatensystem wird ein Punkt durch den Radius r und den Winkel Θ bestimmt. Diese Polarkoordinaten sind in die kartesischen Koordinaten x und y umzurechen:

x = r * cos Θ

y = r * sin Θ

Vom Kartesischen Koordinatensystem zum Polarkoordinatensystem:

r = sqrt (x² + y²)

Θ = arctan y/x



Drehung (Rotation)Bearbeiten

Drehung (Rotation) Koordinatensystem
Eine Drehung (Rotation) eines Koordinatensystems erfolgt unter Änderung des Drehwinkels und Beibehaltung der Lage des darzustellenden Punktes P. Somit hat ein Punkt, welcher die Koordinaten P(x;y) hatte dann im transformierten Koordinatensystem die Koordinaten:

x' = x * cos φ + y * sin φ

y' = - x * sin φ + y * cos φ



Skalierung (Maßstabsänderung)Bearbeiten

Skalierung Koordinatentransformation
Die Skalierung ist eine Maßstabsänderung auf den Achsen des Koordinatensystems. Dabei behält ein darzustellender Punkt die gleichen Koordinaten - allerdings ist seine Lage im beiden Koordinatensystemen unterschiedlich.







ScherungBearbeiten

Scherung Koordinatentransformation
Der Winkel ändert sich bei der Scherung, so dass geometrische Figuren nach der Koordinatentransformation Scherung eine andere Form haben.





SymmetrietransformationenBearbeiten

Bleiben Eigenschaften eines Systems der Physik nach einer Koordinatentransformation unverändert - d.h. bleibt es bezüglich der Eigenschaft invariant - so spricht man von Symmetrietransformationen.

Beipiel Lorentztransformation der Speziellen Relativitätstheorie:

Nimmt man die Lorentztransformation, die durch die folgenden Transformationsgleichungen dargestellt wird:

Vom Ruhesystem I aus betrachtet:

x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²)
y' = y
z' = z
t' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²)

so stellt man fest, dass eine Bewegung, die im ruhenden Bezugssystem BS mit c stattfindet, auch im bewegten Bezugssystem BS' diese Geschwindigkeit hat, obwohl sich die Weg- und Zeit-Koordinaten ansonsten durchaus ändern.

Rechenbeispiel:

In BS t1 = 50 s und c = 300000 km/s und somit x1 = t1 * c = 50 s * 300000 km/s = 15000000 km

In BS' mit Geschwindigkeit von BS' mit v = 0,5 * c, dann

t1' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²) = (50 - 0,5*c*50*c/c²)/sqrt(1-(0,5*c/c)²)=(50-25)/sqrt(0,75)=25/sqrt(0,75)=

=28.86751345948129 s

x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²) = (50*c - 0,5*c*50)/sqrt(0,75)=25*c/0.86602540378444=28.86751345948124311758*c

Errechnung der Geschwindigkeit in BS':

c' = x'/t' = 28.86751345948124311758*c / 28.86751345948129 s = c

Somit c' = c, d.h. eine Bewegung, welche in BS die Geschwindigkeit c hat, besitzt auch in BS' c.

WeblinksBearbeiten

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de - Koordinatentransformation

Transformation von Koordinatensystemen

Koordinatentransformation und Drehung der Koordinatenachsen

Siehe auchBearbeiten

Koordinatensystem - Lorentz-Transformation

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