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Das Finden einer passenden Modellvorstellung zur Erklärung unterschiedlicher physikalischer Phänomene mit Hilfe einer universalen Ursache ist das eine Ding – der Nachweis der Richtigkeit solcher Ansichten ein anderes. An dieser Stelle soll zumindest ein Weg skizziert werden, mit dessen Hilfe es möglich wäre, rechnerisch zu bestimmen, wie schnell eine Schallwelle durch eine Kette elastischer Teilchen läuft. Bei der Erzeugung und Übertragung von Schall in Luft, d.h. in Gasen oder anderen Fluiden, sowie bei der Erzeugung und Übertragung von Licht durch ein Medium, welches teilweise als Äther bezeichnet wird, kann von einem einfachen mechanischen Modell ausgegangen werden, d.h. es sollen Masseteilchen vorhanden sein, die elastisch miteinander verbunden sind. Ziel wäre es, den Bewegungsvorgang einer Auslenkung per Membran an einem einfachen Beispiel rechnerisch zu betrachten. Eine auslenkende Apparatur oder auch Membran übt Kraft auf ein elastisches Gasvolumen aus. Es soll der Bewegungsvorgang einer elastisch gelagerten Masse, die durch eine Membran ausgelenkt wird, durchgerechnet werden.

Masse-Feder-Modell als Darstellung eines LuftvolumensBearbeiten

Es ist bekannt, dass sich ein Gaskörper, z.B. ein Luftvolumen, elastisch verhält und damit komprimierbar ist. Zum anderen besitzen Gasmoleküle ein Gewicht, d.h. sie haben eine bestimmte Masse. Somit wäre die Vermutung begründet, dass die Geschwindigkeit der Ausbreitung einer Schallwelle etwas mit den Eigenschaften Elastizität und Masse zu tun hätte. Um eine rechnerische Handhabung zu ermöglichen, wird ein Luftvolumen mit der Länge l und der Masse m in ein Modell aus Druckfeder und Masse überführt – siehe Abbildungen:

Feder-Masse-Modell ein Luftvolumen

Darstellung von einem Luftvolumen


Bewegung von einer elastisch gelagerten Masse

Elastisch gelagerte Masse


Wird eine Membran ausgelenkt und übt somit auf die Druckfeder, welche ein komprimierbares Gasvolumen darstellen soll, Kraft aus, so wird die Druckfeder (das Gasvolumen) kontrahiert (zusammengepresst), da die Masse aufgrund der Massenträgheit verharrt. Die komprimierte Feder (zusammengepresstes Gasvolumen) erzeugt allerdings auch eine Kraftwirkung auf die Masse des Gasvolumens, so dass diese beschleunigt wird und somit einen bestimmten Weg pro Zeit zurück legt. Ziel sei es, rechenbar zu machen, wieviel Zeit t vergeht, bis die Länge l des Gasvolumens durchschritten worden ist, d.h. so wird rechenbar, wielange ein Impuls benötigt, durch dieses Gasvolumen zu laufen und mit welcher Geschwindigkeit

v = \frac {l}{t}

dies geschieht. Der Begriff Federkonstante mit dem Formelbuchstaben D und der Einheit

\frac {N}{m}

ist gut eingeführt, um den Zusammenhang zwischen einer Kraft F und der Längenänderung der Feder, \Delta l, herzustellen. Die Formel lautet:

F = D \cdot \Delta l

Allerdings muß die Federkonstante für ein Gasvolumen erst hergeleitet werden, was im Artikel: Federkonstante Luft vorgeführt wird. An dieser Stelle sei nur die Formel der Federkonstante eines Gasvolumens notiert:

D =\frac {A^2 \cdot \kappa \cdot p}{V}= \frac {A \cdot \kappa \cdot p}{l}

mit:
A ist Fläche in m^2
\kappa ist Adiabatenkoeffizient, wobei \kappa_{luft} = 1,402
p ist Luftdruck in \frac {N}{m^2}, wobei p_{luft}=101325 \frac {N}{m^2}
V ist Volumen in m^3
l ist Länge des Gaskörpers in m
Ausgangspunkt für einen mathematischen Ansatz ist die Überlegung, dass die Spannkraft F_{spann} jeweils genauso groß sein muß wie die Traegheitskraft F_{traeg} des Luftvolumens, wobei:

F_{spann} = D \cdot \Delta l = \frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l}{l}

und

F_{traeg} = m \cdot a

mit:
a ist Beschleunigung in \frac {m}{s^2}
wobei:

\Delta l_{2} = \frac {a}{2 \cdot t^2}

somit:

a = \frac {2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}

und
m ist Masse in kg, wobei

m = V \cdot \rho = A \cdot l \cdot \rho

mit \rho ist Dichte in \frac {kg}{m^3}. Die Dichte der Luft beträgt: \rho_{luft} = 1,293 \frac {kg}{m^3}
So ergibt sich die Gleichsetzung:
F_{spann} = F_{traeg}
also:

\frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}{l} = m \cdot a

Mit Einsetzung a = \frac {2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}:

\frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}{l} = \frac {m \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}

Und Einsetzung m = A \cdot l \cdot \rho:

\frac {A \cdot \kappa \cdot p \cdot \Delta l_{1}}{l} = \frac {A \cdot l \cdot \rho \cdot 2 \cdot \Delta l_{2}}{t^2}

Umgeformt:

\frac {\kappa \cdot p}{\rho} \cdot \frac {\Delta l_{1}}{2 \cdot \Delta l_{2}} = \frac {l^2}{t^2}

Wurzel:

\sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho}) \cdot \sqrt(\frac {\Delta l_{1}}{2 \cdot \Delta l_{2}}) = \frac {l}{t}

Es stellt sich die Frage, wann der Zustand am Anfang des Luftvolumens am Ende ankommt? Nach dem Motto „Wir sind auf dem Wege“ soll angenommen werden, dass die Schallwelle den Gaskörper durchlaufen hat, wenn das Ende des Luftvolumens um

\Delta l_{2}

verschoben verschoben worden ist – und es soll gelten:

\Delta l_{2} = 0,5 \cdot \Delta l_{1}

Unter diesen Prämissen hätte man dann:

\sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho}) \cdot \sqrt(\frac {\Delta l_{1}}{2 \cdot 0,5 \cdot \Delta l_{1}}) = \frac {l}{t}

\sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho}) \cdot \sqrt(\frac {\Delta l_{1}}{\Delta l_{1}}) = \frac {l}{t}

\frac {l}{t} = \sqrt(\frac {\kappa \cdot p}{\rho})

Setzt man die Zahlenwerte ein:

\frac {l}{t} = \sqrt(\frac {1,402 \cdot 101325}{1,293}) = \sqrt(109866,7) = 331,46 \frac {m}{s}

Dies ist der bekannte Zahlenwert für die Schallgeschwindigkeit in Luft.

Siehe auchBearbeiten

Federkonstante Luft
Masse-Feder-Modell als Darstellung von zwei Luftvolumina zum Nachweis des Wertes der Schallgeschwindigkeit per Rechnung

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