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Schwingungsform

Schwingungsformen

Schall, Bezeichnung für alle Druckänderungen in einem Medium, welche man mit dem Gehör wahnehmen kann. Eine kurz dauernde heißt Knall, dagegen bezeichnet man eine Sequenz mit periodischen Änderungen des Druckes als Ton oder Geräusch, je nachdem, ob sich der Schalldruck regelmäßig - z.B. harmonisch - ändert oder unregelmäßig ist. Töne werden von schwingenden elastischen Körpern, Stäben, gespannten Saiten, Pfeifen oder Glocken erzeugt. Je höher die Frequenz, d.h. je größer die Anzahl der Schwingungen in der Sekunde ist, desto höher ist der Ton. Die Schwingungen erzeugen zunächst im umgebenden Medium - z.B. Luft - Schallwellen, die sich wie Wasserwellen fortpflanzen, bis sie unser Ohr erreichen. Bei Telefon-Verbindungen wird die Übertragung des Schalls mit Hilfe des elektrischen Stromes vom Mikrofon zum Hörer vorgenommen. Die Schallgeschwindigkeit beträgt bei trockener Luft c = 330 \frac {m}{s}. Die Lehre vom Schall heißt Akustik. Der Zusammenhang von Schallgeschwindigkeit (c), Wellenlänge (\lambda ) und Frequenz (f) wird durch die Formel: \lambda = \frac{c}{f} hergestellt.

Theoriefindung Schall Bearbeiten

Beobachtungen Bearbeiten

Wedelt man Luft mit der Hand oder einem Fächer, so wird man keinen deutlichen Ton hören - dagegen wird man einen Düsenjet, der die "Schallmauer durchbricht", mit einem deutlichen Knall wahrnehmen. Hieraus entsteht die These, dass bei Überschreitung der Schallgeschwindigkeit ein entsprechender Schalldruck und ein wahrnehmbares Geräusch entsteht.
Wenn man eine Stimmgabel - z.B. 440 Hz - nimmt und läßt sie - in diesem Falle - mit Kammerton A schwingen, dann überträgt sich eine Welle mit der Frequenz f = 440 Hz per Schallgeschwindigkeit cSchall =333 \frac {m}{s}, welche über ein Mikrofon dann auch eine Schwingung von 440 Hz auf ein Oszilloskop überträgt.

Fazit: Momentaner Kenntnisstand zur SchallentstehungBearbeiten

KetteDruckfedern

Die Druckänderung (rot) breitet sich mit c schneller aus als die auslenkende Membran (grün).

Wo - per Auslenkung - etwas verschoben wird, müssen die zuvor vorhandenen Volumina - oder Teilchen - des Mediums weggeräumt werden. Der Impuls zur Räumung muß der Bewegung der ausgelenkten Teilchen vorauseilen, d.h. eine höhere Geschwindigkeit haben als die auslenkende Membran.

So bleiben abschließend zwei grundsätzliche Möglichkeiten der Schallerzeugung: Man hört nur einen Ton oder ein Geräusch:

  • wenn die Auslenkung mit Schallgeschwindigkeit oder mit mehr als Schallgeschwindigkeit erfolgt



Beispiele Rechnung:Bearbeiten

1. Beispiel:

Man nehme einen Schallerzeuger, dessen Membran einen Hub - oder eine Schallauslenkung - von \xi = s = 2mm = 0,002m hat und diesen Weg, d.h. die Amplitude, in t = 2 ms =0,002 s zurücklegt, dann hätte man ungefähr eine Geschwindigkeit von v = 1 \frac {m}{s}.
Interessant ist allerdings die Beschleunigung, da es nach jetzigem Kenntnisstand bei der Ursache der Schallerzeugung entweder um Überschreitung der Schallgeschwindigkeit oder um eine hohe Beschleunigung der Membran geht. Die Formel wäre s = a/2*t², somit a=2*s/t² und eingesetzt: a = 2*0,002/0,002² = 2/0,002 = 1000 \frac {m}{s^2} - dies wäre eine ganz solide Beschleunigung, wenn man sie mit der Fallbeschleunigung a = g = 9,81 \frac {m}{s^2} vergleicht. Die Durchschnittsgeschwindigkeit oder auch Schallschnelle wäre dann: v=a/2*t=1000/2*0,002=1 \frac {m}{s}.

2.Beispiel:

Eine Sinus-Schwingung von f = 100 Hz wird über eine Membran übertragen, wobei der Hub der Membran \xi = s = 0,01 m betragen soll. Somit ist die Funktion der mechanischen Schwingung der Membran:

s(t) = s_{max} \cdot {sin \; (\omega \cdot t)}

s(t) = s_{max} \cdot {sin \; (2 \cdot \pi \cdot f \cdot t)}

eingesetzt:

s(t) = 0,01 \cdot {sin \; (2 \cdot \pi \cdot 100 \cdot t)}

s(t) = 0,01 \cdot {sin \;(628.31853071795865 \cdot t)}

Um letzten Endes zu ermitteln, welche Funktion die Beschleunigung hat, wäre erstmal die Geschwindigkeit per Erster Ableitung zu ermitteln:

s(t) = 0,01 \cdot {sin \;(628.31853071795865 \cdot t)}
somit:
s'(t) = v(t) = 0,01 \cdot 628.31853071795865 \cdot {cos \;(628.31853071795865 \cdot t)}

Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ergibt die Beschleunigung:

v(t) = 6,2831853071795865 \cdot {cos \;(628.31853071795865 \cdot t)}
somit:
v'(t) = a(t) = -6,2831853071795865 \cdot 628.31853071795865 \cdot {sin \;(628.31853071795865 \cdot t)}
v'(t) = a(t) = -3947.8417604357434765303362 \cdot {sin \;(628.31853071795865 \cdot t)}

Man kann jetzt einige Zeitpunkte nehmen und die entsprechenden Beschleunigungen errechnen:

Wertetabelle Beschleunigung

Winkel


°

Bogenmaß


rad

Zeit


s

Weg

s(t)=0,01*sin(628.318*t) m

Geschwindigkeit

v(t)=6,283*cos(628,318*t)

m/s

Beschleunigung

a(t)=-3947.84*sin(628,31*t)

m/s²

0 0 0 6.2831853071795865 0
45° 0.785398163 0.00125 0.0070710678118655 4.4428829381583818 -2791.5456798555616
90° 1.570796326 0.0025 0.01 0 -3947.841760435
135° 2.356194490 0.00375 0.0070710678118655 -4.4428829381583818 -2791.5456798555616
180° 3.141592653 0,005 0 -6.2831853071795865 0
225° 3.926990816 0.00625 -0.0070710678118655 -4.4428829381583818 2791.54567985556160
270° 4.712388980 0.0075 -0,01 0 3947.84176043574347653
315° 5.497787143 0.00875 -0.0070710678118655 4.44288293815838181 2791.54567985556160
360° 6.283185307 0,01 0 6.2831853071795865 0


Und es ist zu erkennen, dass der Betrag der Beschleunigung bei einem Schallerzeuger - z.B. Lautsprecher - ziemlich groß ist - siehe die folgenden Durchschnittswerte:
v = 3,78 m/s
a = 2382 m/s²
p_1 = 1841 N/m² in unmittelbarer Nähe
Lp_1 = 159 dB
p_2 = 0,1841 N/m²
Lp_2 = 79 dB in 10 m Abstand von der Schallquelle.


3. Beispiel: Bearbeiten

Fächelt man sich über einen Weg (Schallauslenkung) von 0,1 m, der in 1 s zurückgelegt wird, Luft zu, dann wäre die Beschleunigung s = a/2*t², somit a=2*s/t² und eingesetzt: a = 2*0,1/1² = 0,2 \frac {m}{s^2}. Mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit oder auch Schallschnelle von: v=a/2*t=0,2/2*1=0,1 \frac {m}{s}. Sowohl Beschleunigung als auch Durchschnittsgeschwindigkeit wären bei einer solchen Frequenz von 0,25 Hz ziemlich niedrig.

Tabelle Schalldruck und Schalldruckpegel Bearbeiten

Schallquelle Schalldruck p in Pascal Schalldruckpegel L
Schmerzschwelle 100 134
Gehörschäden bei 20 ab 120
Düsenflugzeug 6,3 - 200 110 - 140
Presslufthammer 2 100
Straßenverkehr 0,2 - 0,63 80 - 90
Pkw 0,02 - 0,2 60 - 80
Fernseher 0,02 ca. 60
Unterhaltung 2 · 10-3 - 6,3 · 10-3 40 - 50
Blätterrauschen 6,3 · 10-5 10
Hörschwelle bei 1 kHz 2 · 10-5 0


Frequenzbereiche nach Hörbarkeit Bearbeiten

  • Infraschall - kleiner 16 Hz ist nicht hörbar.
  • Hörschall von 16 Hz bis 20 kHz ist hörbar.
  • Ultraschall von 20 kHz bis 1,6 GHz ist nicht hörbar.
  • Hyperschall - größer als 1 GHz ist breitet sich schlechter aus.


Formeln der Schallfeldgrößen Bearbeiten


SchalldruckBearbeiten

Schalldruck hat die Formel
p = \frac{F}{A}
und bezeichnet einen sich ändernden Druck - meistens - in Luft. Der Schalldruck wird zum jeweiligen Luftdruck addiert. Oftmals wird der Schalldruck als Effektivwert angegeben:
\tilde{p} = \frac {\hat p} {\sqrt 2} \quad \,
p = Z \; v = {\xi \; Z \; \omega} = \frac{a \; Z}{\omega}, wobei: Z = 413,6 Ns/m3 und \omega=2*pi*f=2*pi/T

SchalldruckpegelBearbeiten

Schalldruckpegel drückt aus wie stark der Schall wirkt. Er ist der Logarithmus bezogen auf das Verhältnis des Effektivwertes eines Schalldrucks quadriert zu einem Bezugswert ebenfalls zum Quadrat. Das Resultat hat die Einheit Dezibel dB. Die Formelzeichen sind:

  • Lp für Schalldruckpegel
  • {\tilde{p}} für Effektivwert des Schalldrucks
  • {\tilde{p}}^2 für Effektivwert des Schalldrucks zum Quadrat
  • p_0 für Bezugswert des Schalldrucks
  • {p_0}^2 für Bezugswert des Schalldrucks zum Quadrat

L_p=10\, \log_{10}\left(\frac{{\tilde{p}}^2}{{p_0}^2}\right) \mathrm{dB} = 20\, \log_{10}\left(\frac{\tilde{p}}{p_0}\right) \mbox{dB}
Beispiel:

Lp=20 * Log10[2/2*10^(-5)]=100
da p0=2*10^(-5) festgelegt wurde und der Schalldruck für einen Preßlufthammer mit p=2 Pa angenommen wird.

SchallschnelleBearbeiten

Die Schallschnelle ist eine Geschwindigkeit und gibt an, wie schnell die Luftvolumina um ihre Ruhelage schwingen. Da es sich bei Schallwellen - meist - um Längswellen handelt, schwingen die Teilchen auch in Längsrichtung.
Die Schallschnelle v errechnet sich nach folgenden Formeln: 
v = \frac{p}{Z} = \frac{I}{p} = \sqrt \frac{I}{Z} = \xi \cdot \omega = \frac{a}{\omega} = \sqrt \frac{E}{\rho} = \sqrt \frac{P_\mathrm{ak}}{Z \cdot A} \,

SchallauslenkungBearbeiten

Schallauslenkung ist der Abstand eines Luftteilchens von seiner Ruhelage und berechnet sich nach der Formel:

\hat \xi = \frac{\hat v}{\omega} = \frac{\hat p}{Z \cdot \omega} = \frac{\hat a}{\omega^2}

SchallintensitätBearbeiten

Schallintensität ist ein Maß für die Schallleistung pro Flächeneinheit. Der Schallintensitätspegel ist die logarithmische

Größe.Schallintensität: \vec{I} =p \cdot\ \vec{v}

Schallleistung: P_{ak} = \int_{A}^{}\vec{I} \cdot \vec{dA}

Schallintensitätspegel:  L_I = 10 \lg \left(\frac{|\vec I|}{I_0} \right) \mathrm{dB}

SchallleistungBearbeiten

Schallleistung gibt die Schallenergie pro Zeit an - ihre Maßeinheit ist das Watt. Die Schallleistung kann auch logarithmisch angegeben werden - man spricht vom Schallleistungspegel. Schallleistung ist als Formel das Produkt aus der Fläche "A" und der Schallintensität "I". Es kann auch das Produkt aus Fläche, Schallschnelle und Schalldruck verwendet werden.

P = I \cdot A = p \cdot v \cdot A \,



SchallenergiedichteBearbeiten

Schallenergiedichte beschreibt die Schallenergie, die an einem bestimmten Ort des Schallfeldes vorhanden ist. Als - vereinfachte - Formel kann:
E=\frac{W}{V}
geschrieben werden, wobei das Formelzeichen für die Schallenergiedichte "E" ist. Das Formelzeichen für die Schallenergie ist "W" und für das Volumen "V". Als Maßeinheit ergibt sich somit Joule/Kubikmeter – (J/m3).

SchallenergieBearbeiten

Schallenergie setzt sich aus der kinetischen und potentiellen Energie zusammen, die in einem Schallfeld enthalten sind. Die Maßeinheit ist das Joule:
1 J = 1 W · s = 1 N · m und das Formelzeichen ist "W". In einem Schallfeld kommen sowohl Bewegungen von Teilchen des Mediums als auch Verdichtungen und Verdünnungen vor.

SchallimpedanzBearbeiten

Für die Schallimpedanz gibt es mehrere andere Bezeichnungen - es handelt sich um den Wellenwiderstand Z des Mediums - mit Maßeinheit:

[Z] = \frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{s}}{\mathrm{m}^3}

und die Formel ist:
Z = \dfrac{p}{v} = \dfrac{I}{v^2} = \dfrac{p^2}{I} = \rho \cdot c

Wobei die Schallimpedanz vergleichbar mit dem elektrischen Widerstand

R = \dfrac{U}{I}

ist, d.h. es ist der Quotient aus Schalldruck und Schallschnelle

Z = \dfrac{p}{v}

wobei der Schalldruck p der durch das Medium treibenden Kraft entspricht und die Schallschnelle v etwas mit der Strömung der Teilchen zu tun hätte.

SchallflussBearbeiten

Schallfluss ist das Volumen des Mediums, das pro Zeit durch eine Fläche strömt. Die Maßeinheit ist:

\frac{m^{3}}{s}
und der Formelbuchstabe "q".
Die vereinfachte Formel für den Schallfluss ist:
q = v\cdot A \,

Bildergalerie zum SchallBearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wellen - Druck und Speed01:11

Wellen - Druck und Speed.wmv

Wellen - Druck und Speed


Siehe auch Bearbeiten

Schallmauer - Schallgeschwindigkeit - Schalldruck - Schalldruckpegel - Schallschnelle - Schallauslenkung - Schallintensität - Schallleistung - Schallenergiedichte - Schallenergie - Schallimpedanz - Schallfluss - Äthertheorie_G.K.

Einzelnachweise Bearbeiten

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