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Wellengleichung, eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die für die Variablen t und x zu einer homogenen Diff-Gleichung wird:

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} {\frac 1{c^2}}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0

Dabei handelt es sich bei \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} um die zweite partielle Ableitung der Funktion u(t,x) nach der Variablen t.

Dabei handelt es sich bei \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} um die zweite partielle Ableitung der Funktion u(t,x) nach der Variablen x.

Die Notation der Ableitungen bei der partiellen Differentation entspricht wie folgt den bekannteren Schreibweisen:

f'(x) = \frac{\partial f}{\partial x} und f''(x) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

Aufgrund der vereinfachten Notation findet man auch die folgende Form der Wellengleichung:

u_tt/c^2 - u_xx=0

Beispiel einer Lösung der WellengleichungBearbeiten

Es soll einmal überprüft werden, ob eine bekannte Formel zur Wellenausbreitung eine Lösung der Wellengleichung ist.
Zur Errechnung des Ortes an welchem sich ein Teilchen zur Zeit t befindet, wird oftmals die Formel:

s(x,t) = s_max * sin[2 * π * (t/T - x/λ)]  mit λ=c*T

benutzt, die auch wie folgt geschrieben werden kann:

u(x,t)=û*sin[2*π*(t/T-x/λ)] =

u(x,t)=û*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

da λ=c*T


Somit zweifache Ableitung erstmal nach t und dann nach x, sodann Einsetzung in die Wellengleichung:

d²u/c²*dt² - d²u/dx² = 0

u(x,t)=û*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

du/dt=û*2*π/T *cos[2*π*(t/T-x/c*T)]
d²u/dt²= - û*2*π/T * 2*π/T *sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

du/dx=-û*2*π/cT * cos[2*π*(t/T-x/c*T)]
d²u/dx²=-û*2*π/cT*2*π/cT*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

Somit einsetzen in die Wellengleichung d²u/c²*dt² - d²u/dx² = 0 und prüfen, ob es eine Lösung ist und die Gleichung eine wahre Aussage ist:

d²u/c²*dt²=- û*2*π/T * 2*π/T *sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c²
d²u/dx²=-û*2*π/cT*2*π/cT*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]=-û*2*π/T*2*π/T*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c²

d²u/c²*dt² - d²u/dx² =- û*2*π/T * 2*π/T *sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c² - {-û*2*π/T*2*π/T*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c²} = 0


Siehe auchBearbeiten

Differentialgleichung


WeblinksBearbeiten

Wellengleichungen

Über_das_Doppler_Prinzip Herleitung Wellengleichung

Entwicklung Wellengleichung aus Schwingung Saite

Fadenkurven

Darstellung Wellengleichung

Grundwissen Wellen

Lexikon Welle Physik

Vorlesung Kap. 4

Schulphysik Wellen

Schwingungen und Wellen

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